그린-타오 정리
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2. 정리의 내용
그린-타오 정리는 소수 들이 임의로 긴 등차수열 을 포함한다는 것을 증명한 정리이다. 더 나아가, 소수 집합의 부분 집합 A 가 충분히 큰 밀도(\limsup_{N\rightarrow\infty} \frac
{\pi(N)}>0)를 가지면, 이 집합 A 역시 임의의 길이 k 에 대해 무한히 많은 등차수열을 포함한다는 것을 보여준다.N 이하의 소수들로 이루어진 길이 k 인 등차수열의 개수에 대한 점근 공식을 제시한다.2. 1. 기본 정리
\pi(N) 을 N 보다 작거나 같은 소수 의 개수라고 하자. A 가 소수의 부분 집합이고 다음 조건을 만족한다고 가정하자.\limsup_{N\rightarrow\infty} \frac{\pi(N)}>0정수 k 에 대해 집합 A 는 길이가 k 인 등차수열을 무한히 많이 포함한다. 특히, 소수 전체의 집합은 임의로 긴 등차수열을 포함한다.p_1 < p_2 < \dotsb < p_k \leq N 의 개수에 대해 다음과 같은 점근 공식을 조건부로 증명하고 제시했다.(\mathfrak{S}_k + o(1))\frac{N^2}{(\log N)^k} \mathfrak{S}_k 는 다음과 같이 정의되는 상수이다.\mathfrak{S}_k := \frac{1}{2(k-1)}\left(\prod_{p \leq k}\frac{1}p\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod_{p > k}\left(1 - \frac{k-1}p\right)\!\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!. 2. 2. 점근 공식 (조건부)
그린과 타오는 일반화된 하디-리틀우드 추측을 가정하여, N보다 작거나 같은 소수들로 이루어진 길이 k인 등차 수열, 즉 p_1 < p_2 < \dotsb < p_k \leq N 을 만족하는 소수 튜플의 개수에 대한 다음 점근 공식을 조건부로 증명하고 제시했다.(\mathfrak{S}_k + o(1))\frac{N^2}{(\log N)^k} o(1) 은 N이 무한대로 갈 때 0으로 수렴하는 항을 의미하며, \mathfrak{S}_k 는 다음과 같이 정의되는 상수이다.\mathfrak{S}_k := \frac{1}{2(k-1)}\left(\prod_{p \leq k}\frac{1}p\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod_{p > k}\left(1 - \frac{k-1}p\right)\!\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!. 2. 3. 점근 공식 (무조건부)
그린과 타오는 일반화된 하디-리틀우드 추측에 대한 후속 연구에서, N 이하의 소수로 이루어진 길이 k 의 등차 수열, 즉 p_1 < p_2 < \dotsb < p_k \leq N 을 만족하는 소수 ''k''-튜플의 개수에 대한 다음과 같은 점근 공식을 제시했다.(\mathfrak{S}_k + o(1))\frac{N^2}{(\log N)^k} \mathfrak{S}_k 는 다음과 같이 정의된다.\mathfrak{S}_k := \frac{1}{2(k-1)}\left(\prod_{p \leq k}\frac{1}p\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!\left(\prod_{p > k}\left(1 - \frac{k-1}p\right)\!\left(\frac{p}{p - 1}\right)^{\!k-1}\right)\!. 무조건부 로 증명되었다.
3. 증명의 개요
그린-타오 정리의 증명은 다음 세 가지 주요 구성 요소로 이루어진다.등차수열 을 포함한다는 정리이다. 하지만 소수 는 정수 전체에서 밀도가 0이기 때문에, 이 정리가 ''사전적으로'' 소수에 직접 적용되지는 않는다.소수 를 조밀한 부분 집합으로 포함하는 정수의 의사랜덤 부분 집합을 구성하는 단계이다. 이 집합을 구성하기 위해 그린과 타오는 소수 간격에 대한 골드스톤, 핀츠, 그리고 이을드름의 연구에서 아이디어를 사용했다.
3. 1. 세메레디 정리
세메레디 정리는 그린-타오 정리 증명의 세 가지 주요 구성 요소 중 하나이다. 이 정리는 양의 상부 밀도를 갖는 정수의 부분 집합은 임의로 긴 등차수열 을 포함한다고 설명한다. 하지만 소수는 전체 정수 집합 내에서 밀도가 0이기 때문에, 세메레디 정리가 ''사전적으로'' 소수 집합에 직접 적용되지는 않는다.3. 2. 전달 원리
그린-타오 정리 증명의 세 가지 주요 구성 요소 중 하나는 전달 원리이다. 이 원리는 세메레디 정리를 적절한 의미에서 의사랜덤한 정수의 부분 집합으로 확장하는 역할을 한다. 이러한 결과는 현재 상대적 세메레디 정리라고 불린다.소수 를 조밀한 부분 집합으로 포함하는 정수의 의사랜덤 부분 집합을 구성한다.3. 3. 의사랜덤 부분집합 구성
그린-타오 정리 증명의 세 가지 주요 구성 요소 중 하나는 소수를 조밀한 부분 집합으로 포함하는 정수의 의사랜덤 부분 집합을 구성하는 것이다. 이 집합을 만들기 위해 그린과 타오는 소수 간격에 대한 골드스톤, 핀츠, 그리고 이을드름의 연구에서 아이디어를 사용했다.
4. 수치적 연구
그린-타오 정리는 소수 가 임의로 긴 산술 수열을 포함한다는 것을 수학적으로 증명했지만, 이는 존재 증명의 성격을 가지므로 실제로 그러한 수열을 어떻게 찾을 수 있는지 구체적인 방법을 제시하지는 않는다.소수 계승 (primorial, 기호 '#')을 포함하는 형태로 표현된다.
4. 1. 발견 사례
그린-타오 정리는 소수 들이 임의로 긴 산술 수열을 포함한다는 존재 정리이지만, 실제로 이러한 수열을 찾는 방법을 제시하지는 않는다. 따라서 가장 긴 소수 산술 수열을 찾기 위한 별도의 계산 노력이 이어졌다.길이 24: 2007년 1월 18일, 야로스와프 브로블레프스키(Jarosław Wróblewski)가 발견했다.: 468,395,662,504,823 + 205,619 · 223,092,870 · ''n'', (''n'' = 0, 1, ..., 23) : 여기서 상수 223,092,870은 23 이하의 모든 소수의 곱으로, 소수 계승 (23#)이라고 한다. 길이 25: 2008년 5월 17일, 브로블레프스키와 라아난 체르모니(Raanan Chermoni)가 발견했다.: 6,171,054,912,832,631 + 366,384 · 23# · ''n'', (''n'' = 0, 1, ..., 24) 길이 26: 2010년 4월 12일, 브누아 페리숑(Benoît Perichon)이 분산 컴퓨팅 프로젝트인 PrimeGrid에서 브로블레프스키와 제프 레이놀즈(Geoff Reynolds)의 소프트웨어를 사용하여 발견했다.: 43,142,746,595,714,191 + 23,681,770 · 23# · ''n'', (''n'' = 0, 1, ..., 25) 길이 27: 2019년 9월, 롭 가한(Rob Gahan)과 PrimeGrid가 발견했다.: 224,584,605,939,537,911 + 81,292,139 · 23# · ''n'', (''n'' = 0, 1, ..., 26)
5. 확장 및 일반화
세메레디 정리의 확장 중 다수는 소수에도 적용된다. 그린-타오 정리는 발표 이후 여러 방향으로 확장되고 일반화되었다.
5. 1. 다차원 일반화
세메레디 정리의 확장 중 상당수는 소수 집합에도 적용될 수 있다.P_1(m), \ldots, P_k(m) 에 대해, x + P_{1} (m), \ldots, x + P_{k} (m) 이 모두 동시에 소수가 되는 정수쌍 x, m 이 무한히 많이 존재한다는 것이다. 만약 여기서 다항식을 m, 2m, \ldots, km 으로 특별히 선택하면, 이는 길이 k 인 소수의 등차수열이 무한히 존재한다는 원래의 그린-타오 정리를 포함하는 결과가 된다.5. 2. 다항식 수열
2006년, 타오와 지글러는 그린-타오 정리를 다항식 수열까지 확장했다.m 에 대한 임의의 정수 계수 다항식 P_1, \ldots, P_k 가 주어졌을 때 (단, 모든 다항식의 상수항은 0이어야 한다), x + P_{1} (m), \ldots, x + P_{k} (m) 형태의 항들이 모두 동시에 소수 가 되는 정수 x 와 m 쌍이 무한히 많이 존재한다는 것을 증명했다.m, 2m, \ldots, km 인 경우를 포함한다. 이 경우, 수열은 x + m, x + 2m, \ldots, x + km 형태가 되는데, 이는 길이가 k 인 소수의 등차수열 이 무한히 많이 존재한다는 기존의 그린-타오 정리 내용과 일치한다.5. 3. 가우스 소수
타오는 가우스 소수에 대한 그린-타오 정리의 유추를 증명했다.
참조
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The Gaussian primes contain arbitrarily shaped constellations
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간행물
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2014-06-13
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